自相似（self-similarity）

仔細看一片蕨葉，你會發現每一小片葉子都是整片蕨葉的縮小複本；在地圖上放大一段海岸線，無論你看一千公里或十公里，海灣與岬角看起來都差不多；一道閃電分叉，而每條分支又以同樣的方式再分叉。在這一切中，部分都酷似整體。那個性質——一個由自身較小複本構築而成的形狀——就是自相似，也是碎形幾何定義性的心跳。

精確地說，一個集合是自相似的，若它能被拆成數塊，每塊都是整個集合的縮小複本（可能還帶旋轉或鏡射）。最乾淨的例子是把一條規則永遠重複而建成的數學碎形。康托集：取從 0 到 1 的線段，刪去中間開的三分之一，再刪去每段剩餘部分中間的三分之一，無窮地重複；剩下的塵埃由它自身的兩個複本構成，各縮小 3 倍。謝爾賓斯基三角形：從一個實心三角形挖去中央那個倒三角形，再對三個較小的三角形各做同樣的事，無窮地進行；它由它自身在半尺度下的三個複本構成。這套精確的「複本的複本」配方讓你能從每個尺度因子 s 下出現多少個複本 N，經由關係 N = s 的維數次方，算出碎形維數。

自相似正是為什麼碎形捕捉現實世界的粗糙——雲、山、血管、河網——遠勝古典幾何的平滑形狀，並驅動影像壓縮、天線設計與電腦生成的地景。兩個誠實的區別很重要。第一，「精確」自相似（部分是整體完美的縮放複本）在純數學之外很罕見；自然展現的是「統計」自相似——部分只是在統計上酷似整體，而非逐像素相同。第二，自相似與單純的對稱並不相同：圓高度對稱卻不自相似，因為放大會揭露新東西（一條近乎直的線），而放大一個真正的碎形則再次揭露同樣的繁複，永無止境。