碎形維數（fractal dimension）

我們被教導維數是整數：線是一維、正方形是二維、立方體是三維。但什麼數字描述科赫曲線——皺到不只是一條線，卻又細到填不滿一塊面積？碎形維數把維數的觀念延伸為一個實數，可能是分數，用以度量一個粗糙的形狀有多徹底地填滿它周圍的空間。科赫曲線的維數約 1.26：比線多、比平面少，而那個小數精確地刻畫了它如何擠在兩者之間的縫隙裡。

掌握它最乾淨的方式是盒計數，而它立基於一個關於尋常形狀的簡單觀察。若你把量尺縮小 s 倍，需要多少個複本才能覆蓋這個形狀？對一條線段，把尺縮小 3 倍需要 3 倍的片數（3 = 3^1）。對一個正方形，縮小 3 倍需要 9 = 3^2 片。對一個立方體，27 = 3^3。那個指數「就是」維數。於是把這個關係反過來定義維數：用邊長 1/s 的小盒子覆蓋形狀，數需要多少個 N(s)，碎形（盒計數）維數便是當 s 增大時，log N(s) 除以 log s 的極限。對自相似碎形這漂亮地簡化了：若形狀由它自身的 N 個複本構成、每個縮小 1/s，維數就是 log N 除以 log s。康托集：N = 2、s = 3，維數 log 2 / log 3 約 0.63。謝爾賓斯基三角形：N = 3、s = 2，維數 log 3 / log 2 約 1.58。

碎形維數替不規則物體的「粗糙度」或「填充空間度」給出單一個誠實的數字——海岸線、雲、肺、金融價格圖、多孔岩石、神經分枝——並且是物理、生物與訊號分析中的主力工具。兩個誠實的提醒。第一，碎形維數有「好幾種」定義（嚴謹的豪斯多夫維數、實用的盒計數維數，以及其他）；對乖巧的自相似集它們一致，但對病態的集合可能相異，所以說清楚你指的是哪一個是值得的。第二，非整數維數並不以任何神祕的意義使一個形狀「部分地」處於兩個世界之間——它無非是縮放行為的精確度量，許多看起來完全尋常的粗糙曲線都有分數維數，而毫無任何詭異之處。