純量三重積（scalar triple product）
三支從同一角冒出的箭，勾勒出一個傾斜的盒——平行六面體。那個盒圍住多少空間？純量三重積用一個數字回答，甚至還由它的正負號告訴你這三支箭構成右手系還是左手系。它是內積與外積合作無間的成果。
對三個向量 u、v、w，純量三重積是 u . (v x w)：先把 v 與 w 作外積，得到同時垂直於兩者的向量，再把它與 u 作內積。結果是一個數（純量）。它的絕對值是以 u、v、w 為稜的平行六面體體積；它的正負號記錄定向（右手三元組為正，左手為負）。一個乾淨的算法是以 u、v、w 的分量為列的 3 乘 3 行列式。一個漂亮的對稱成立：u . (v x w) = v . (w x u) = w . (u x v)——三個向量可循環輪換而不改變其值（任意對調兩個則變號）。此積恰在三向量共面時為零，因為扁平的盒沒有體積。
這個單一數字做了大量幾何工作：它檢驗共面（為零表示三向量同處一平面，因此四點 A、B、C、D 共面當 AB . (AC x AD) = 0），它給出平行六面體的體積，除以六則給出四面體的體積。最常見的失誤在括號：u . (v x w) 有意義，但 (u . v) x w 沒有——你無法把一個數 (u . v) 與向量作外積。記號上必須讓外積餵進內積，絕不能反過來。
對 u = (1, 0, 0)、v = (0, 1, 0)、w = (0, 0, 1)：v x w = (1, 0, 0)，故 u . (v x w) = (1)(1) + 0 + 0 = 1——單位立方體體積為 1。談共面，u = (1, 0, 0)、v = (0, 1, 0)、w = (2, 3, 0) 全落在 xy 平面；此時 v x w = (0, 0, -3) 且 u . (v x w) = 0，印證它們共面。
三條稜張成之盒的有號體積；為零代表共面。
稱它為體積前要取絕對值——原始的三重積可能為負，那個負號告訴你的是左手定向，而非負的空間量。