旋转矩阵

旋转矩阵是一格九个数字的整齐方阵——三行三列——它刻画的是一个姿态，也就是一个物体究竟是怎么转着的。读它最清爽的办法是一列一列地看：它的三列各自告诉你，转动之后某根坐标轴现在指向哪里。把这三个答案并排摆好，这个小方阵就装下了整个旋转，既不必摆弄角度，也不用操心绕圈打转的问题。把这个方阵交给机器人，它就精确知道夹爪、相机或者整个机身朝着哪个方向。

同一个方阵也是一台给箭头重新瞄准的机器。让一个位置向量乘上一个旋转矩阵，出来的就是这同一个向量在旋转之后的样子——或者同样有用地，是同一个物理点的数字从一个坐标系翻译到另一个坐标系后的结果。这正是空间机器人里日常的主力动作：相机报告说杯子在左上方，乘上正确的旋转矩阵之后，就变成了机械臂真正能朝着去的一个方向。把两次旋转的矩阵相乘，就能连着施加两次转动，像一步步照路线走那样干净利落地把转动串接起来。

不是随便九个数字都行。真正的旋转矩阵是正交规范的——它的三列各自恰好是一个单位长，且两两完全垂直——除此之外它还必须是右手的（行列式为 +1，从而排除镜像翻转）。这两组条件合起来，正是它在转动东西时既不会拉伸、压扁、扭歪、也不会镜像翻转它们的原因。长度和角度都原封不动地保留下来；一个正方体仍是正方体，只是转了个向。这一族乖巧的矩阵，数学家称之为 SO(3)，即特殊正交群，这不过是“所有规规矩矩的三维旋转”的一个正式名称。它最大的优点是可靠；它略微的代价是，用九个数字去钉住一件其实只需要三个数字的事，这也是当内存或平滑性要紧时人们常常更偏爱四元数的原因之一。