四階龍格-庫塔法（RK4）
/ ar-kay-FOUR /
如果龍格-庫塔是「在一步之內取樣多個斜率並平均」的想法，RK4 就是它最著名的具體配方——那條四斜率公式，數十年來一直是「就幫我解這個 ODE」的預設方法。它命中了甜蜜點：準確度高到在平滑問題上你鮮少需要更花俏的東西，卻又簡單到十來行程式碼就能寫出。
RK4 用四次斜率計算走一步：k1 = f(t_n, y_n)，起點的斜率；k2 = f(t_n + h/2, y_n + (h/2)*k1)，用 k1 到達中點後的斜率；k3 = f(t_n + h/2, y_n + (h/2)*k2)，第二個、修正過的中點斜率；以及 k4 = f(t_n + h, y_n + h*k3)，遠端的斜率。這一步是一個最信任兩個中點斜率的加權平均：y_{n+1} = y_n + (h/6)*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)。1-2-2-1 的加權絕非偶然——它正是消去誤差項直到 h^4 的模式，使方法成為四階，並呼應積分的辛普森法則（當 f 只依賴 t 時 RK4 正好化約為辛普森法則）。
RK4 是四階：它的全域誤差是 O(h^4)，所以步長減半使誤差縮為十六分之一。這份豐厚正是它長期擔任非剛性問題主力的原因。誠實的限制是：它每步要算四次 f（只有在你想要多個正確位數且 f 平滑時才划算）；它步長「固定」，無法適應解中容易與困難的區段（現代求解器用嵌入對來做這件事）；而且和所有顯式龍格-庫塔法一樣，它只有條件穩定，因此對剛性方程是錯的，那裡需要隱式方法。
在 y' = y、y(0) = 1、h = 0.5 上走一步 RK4：k1 = 1、k2 = f(.25, 1.25) = 1.25、k3 = f(.25, 1.3125) = 1.3125、k4 = f(.5, 1.65625) = 1.65625，所以 y_1 = 1 + (0.5/6)*(1 + 2.5 + 2.625 + 1.65625) = 1.6484。真值 e^0.5 = 1.64872——RK4 走一步就勝過前向歐拉法走數十步。
以 1-2-2-1 平均的四個斜率樣本，給出每步四階的準確度。
純 RK4 是固定步長且顯式的——不是剛性求解器，本身也不適合做誤差控制的計算。實用的程式庫用嵌入式 RK 對（RKF45、Dormand-Prince）做自適應步長，並用隱式 RK 或 BDF 解剛性系統。