布徹表（Butcher tableau）
/ BUTCH-er /
每個龍格-庫塔法不過是一組特定的指令：在一步之「內」何處取樣每個斜率、如何由先前的斜率建出每個取樣點、以及最後一步如何加權所有樣本。用文字寫出這些選擇很笨拙。布徹表（以 John Butcher 命名）就是把這一切收進一個整齊網格的緊湊記帳表，因此任一龍格-庫塔法都由它的布徹表完整指定。
這張表有三塊數字：一欄「節點」c_i（每個階段取樣斜率所在的步長分數）、一個三角形的係數矩陣 a_ij（階段 i 的取樣點如何由先前斜率 k_1..k_{i-1} 建出）、以及一列「權重」b_i（最後一步如何混合所有階段斜率）。各階段為 k_i = f(t_n + c_i*h, y_n + h*sum_j a_ij*k_j)，而步驟是 y_{n+1} = y_n + h*sum_i b_i*k_i。若 a 矩陣嚴格下三角（每個階段只用更早的階段），方法是「顯式」的，你依序算出各 k；若 a_ij 在對角線上或之上有值，某階段依賴自身，方法便是「隱式」的，各階段必須同時求解。例如 RK4 的布徹表，節點為 0、1/2、1/2、1，權重為 1/6、1/3、1/3、1/6。
為什麼要用表？因為它讓方法一目了然地可比較、可檢驗。「階條件」——a、b、c 為達到某階所必須滿足的代數方程——可直接用布徹表的元素表述（例如相容性要 sum_i b_i = 1，二階要 sum_i b_i*c_i = 1/2）。它讓你一眼看出方法是顯式還是隱式、數出它的階段數（成本），並認出嵌入對（兩列權重共用同一組階段）。布徹表是龍格-庫塔法的通用「原始碼」，就像食譜卡記下一道菜。
中點法的布徹表：節點 c = (0, 1/2)；a 矩陣有 a_21 = 1/2（階段 2 用 k1 走到一半）；權重 b = (0, 1)。把它讀回來：k1 = f(t_n, y_n)、k2 = f(t_n + h/2, y_n + (h/2)*k1)、y_{n+1} = y_n + h*k2——正是中點法則。嚴格下三角的 a 矩陣標示它是顯式的。
節點 c、係數 a、權重 b——一個網格裝下任一龍格-庫塔法的完整基因。
嚴格下三角的 a 矩陣代表顯式（逐一算出各階段）；對角線上或之上有任何元素就代表隱式（各階段耦合，須一起求解，通常用牛頓法）。布徹表的「結構」而不只是數字，告訴你成本與穩定性的性格。