方法的階（the order of a method）

當你把數值求解器的步長減半時，誤差縮小多少？有些方法只是減半；有些則降為四分之一，甚至十六分之一。方法的「階」是回答這個問題的單一數字：它是使誤差表現如 h^p 的次方 p，告訴你每次細化步長，準確度會獲得多豐厚的回報。

精確地說，若方法的「全域」誤差在 h -> 0 時以 O(h^p) 縮放，則它是 p 階。等價地說，它每步的局部截斷誤差是 O(h^(p+1))（高一個次方，因為約 1/h 步的誤差累積而損失一個 h 次方）。所以前向歐拉法，局部誤差 O(h^2)、全域誤差 O(h)，是一階；中點法與 Heun 法是二階；經典 RK4 是四階。p 階的實際意義：把 h 減半使誤差乘上 (1/2)^p，所以四階方法每次減半多得 4 個正確的二進位位數，而一階只多得 1 個。方法達到 p 階，是靠匹配真解的泰勒展開直到 h^p 項——高階方法在更多處取樣斜率以消去更多項。

階是求解器規格表上的頭條數字，但要讀小字。高階並非免費：每步要算更多次函數（RK4 要四次），所以勝負在於「每單位工作的準確度」，當你想要許多正確位數且解平滑時，高階占優。關鍵是，階是一個「漸近」陳述——它描述 h -> 0 時的行為，可能要等 h 夠小才生效；對不平滑的 f、奇異點或剛性問題，觀測到的收斂可能比名義階慢，或在滿足穩定性之前根本不出現。若主導誤差的是捨入而非截斷，高階方法也幫不上忙。