精度階

精度階描述當你把步長 h 變小時，一個近似的誤差縮小得多快——以大 O 符號的精度意義表達：誤差 = O(h^p) 意味著對小的 h，誤差被某個常數乘以 h^p 所界定。指數 p 就是階。一階方法（p = 1）的誤差大致與 h 成正比；二階方法（p = 2）的誤差與 h^2 成正比，下降得快得多。

階的實用威力在於它對加密的預測。用 O(h^p) 的方法，把步長減半會使誤差乘以 (1/2)^p：一階誤差減半、二階誤差降為 1/4、四階誤差降為 1/16。所以階告訴你額外工作的回報。前向差分 (f(x+h) - f(x))/h 是 O(h)、一階；中心差分 (f(x+h) - f(x-h))/(2h) 是 O(h^2)、二階；梯形法則是 O(h^2)，辛普森法則是 O(h^4)。更高階的每步買到戲劇性更多的精度，雖然通常每步工作也更多。

要小心：O(h^p) 是關於 h 趨於 0 之極限的漸近陳述；它隱藏了常數，對大的 h 什麼也沒說，而在大 h 處一個名義上較低階的方法反而可能勝出。它也假設函數夠光滑——對不光滑的函數，四階方法會悄悄掉到較低的觀測階。實務上量測真實階的標準方法是精度階（收斂）研究：反覆把 h 減半，看相鄰誤差的比值，從它們下降得多快讀出 p。這與大 O 的另一種用途不同，後者衡量演算法的成本而非其誤差。