更新過程（renewal process）
卜瓦松過程堅持事件之間的間隔是指數的。但許多真實的週期並非如此：燈泡在被更換前有一個相當可預測的壽命、機器零件磨損一段典型時間後才故障、公車跑一條大致固定的路線時間。更新過程保留了系統在每個事件處「重新開始」這個美麗想法，卻甩開了指數的緊身衣：間隔是獨立同分布的，來自「任何」你喜歡的分配。
形式上，令到達間隔時間 T1, T2, T3, ... 為獨立同分布，具某個共同分配 F（任何正值分配，不必是指數）。到達時刻是部分和 Sn = T1 + ... + Tn，而計數過程 N(t) 計入到時刻 t 為止發生了多少次更新。每次更新都是一個乾淨的重啟——過程忘掉一切，開始一個新的獨立週期——這正是其名稱的由來。卜瓦松過程恰好是 F 為指數的特例；那個特例之所以獨特，在於它在間隔中途也無記憶，但「每一個」更新過程在更新時刻本身都是無記憶的。
更新理論是更換、維護、可靠度與存貨的天然框架：它回答「到時刻 t 為止有多少次更換？」「長期更換率是多少？」「機器停機的時間比例是多少？」最重要的長期事實是更新報酬的直覺：在長時間視野下，事件的平均速率趨向 1 / E[T]，即平均間隔的倒數——所以一個平均維持 5 年的零件，其長期更換率是每年 1/5。為一般化間隔所付的代價是：計數 N(t) 不再是卜瓦松，且精確公式變得更難，這正是為何更新理論有那麼多是關於長期（漸近）行為。
燈泡平均維持 E[T] = 1000 小時，壽命取自某個非指數的分配；每個一壞掉就立刻更換。在長期下，燈泡以約每小時 1/1000 的平均速率被更換，即大致每 1000 小時一個——不論壽命分配的確切形狀為何，只有它的平均對長期速率有影響。
任意獨立同分布的間隔，每個事件處重新開始；長期事件速率趨向 1/E[T]。
卜瓦松過程是間隔為指數的特殊更新過程。甩開指數後，你保留了重新開始的想法，卻失去了卜瓦松計數與大多數封閉形式的公式。