低秩模型与推荐系统

当你有一张巨大的用户乘物品表，且大多数元素缺失（没人给每部电影都评分）时，推荐系统背后的赌注是：这张表暗中是低秩的——少数隐藏因子（类型、基调、年代）解释了大部分偏好。找到这些因子，就能填补空白。

把评分矩阵 R 建模为两个瘦因子之积，R approx U V^T，其中行 u_i 是用户 i 在一个小的 k 维隐空间中的口味，行 v_j 是物品 j 在同一空间中的画像。预测评分是内积 <u_i, v_j>：当用户口味与物品特质对齐时取高值。秩 k 就是隐因子的个数。

若 R 完全可观测，最佳的秩 k 分解恰是截断 SVD（Eckart-Young 定理），保留前 k 个奇异值。但 R 大多缺失，故改为只在已观测元素上最小化平方误差，再加正则项，用交替最小二乘或梯度下降求解。当真实矩阵低秩且观测元素足够分散时，这种矩阵补全才会成功。

为何重要：这是电影、商品与音乐协同过滤背后的数学，同样的分解思想又出现在主题模型与嵌入中。警示：它继承了冷启动问题（新用户或新物品没有数据），补全保证假定不相干性与随机采样，而纯低秩拟合可能放大流行度偏置。