數值求積（numerical quadrature）
手算曲線下的精確面積意味著求反導函數——而對大多數函數，乾淨的反導函數根本不存在（試試把 e^(-x^2) 或 sin(x)/x 寫成封閉形式積分）。求積是實用的答案：與其用符號解出積分，不如從有限個函數值「估計」它的面積，就像你或許會藉著在幾個橫斷面量寬度來估計一個池塘的面積。
每個求積法則都是同一個樣子：它把 f 從 a 到 b 的定積分，近似成函數值的加權和 w_1 f(x_1) + w_2 f(x_2) + ... + w_n f(x_n)。點 x_i 稱為節點，數字 w_i 稱為權重，整門手藝就在於把它們選好。最簡單的法則在等距節點上取樣，再用低次多項式穿過樣本：梯形法則用直線連接各點並把梯形面積相加；辛普森法則則配上拋物線。更聰明的法則（高斯求積）讓節點得以不等距，並把它們擺在最佳位置。要控制精度，就把 [a, b] 切成許多小片，在每片上套用一個基本法則——這就是複合法則。
凡是應用數學要算積分之處，求積無所不在：機率中的期望值、面積與體積、微分方程的右端項、訊號能量、金融定價。誠實的說法是：結果永遠是帶有可量化誤差項的近似；目標是受控、被理解的誤差，而非精確。有兩個主題反覆出現：光滑的被積函數能讓高階法則收斂得快得驚人，而奇異點或折角則需要特別處理或自適應細化；在高維度，一般求積會受維度災難所苦，這最終逼人改用蒙地卡羅方法。
估計 f(x) = 1/(1 + x^2) 從 0 到 1 的積分（真值 pi/4 = 0.785398）。在兩端點取樣並套用梯形法則得 (1/2)(f(0) + f(1)) = (1/2)(1 + 0.5) = 0.75。辛普森法則加上中點，得 (1/6)(f(0) + 4 f(0.5) + f(1)) = 0.78333——只多一個取樣就近了許多。
定積分化為函數取樣的加權和。
求積積的是一個你能在任意點求值的函數；它不同於把零散資料相加或解 ODE。一個權重總和為 b - a 的法則能精確積出常數，這是基本的健全性檢查——但對真實被積函數的精度，取決於法則的多項式次數與被積函數的光滑度。