牛頓-柯特斯法則（Newton-Cotes rules）
/ NEW-tun KOHTS /
如果你在等距點上取樣了一個函數——這是很自然的做法，就像讀尺上的刻度——那麼底下面積的最佳估計是什麼？牛頓-柯特斯家族的回答是：讓單一多項式穿過這些樣本，再把該多項式精確積分。整套經典課本積分法則的階層，不過就是這一個想法配上越來越多取樣點。
配方如下：在 [a, b] 上放 n + 1 個等距節點，讓唯一的 n 次插值多項式穿過那裡的函數值，把該多項式的積分當作你的估計。每個 n 給出一個有名字的法則。用一個區間得到梯形法則（一條直線，1 次）。切成兩段並配一條拋物線得到辛普森法則（2 次）。更高階的成員配三次（辛普森 3/8 法則）、四次（布爾法則）等等。中點法則是只用內部點的開放型變體。對稱帶來一個愉快的驚喜：辛普森法則對三次式也精確，不只拋物線，所以它免費多賺一階精度。
低階牛頓-柯特斯法則，以複合形式用在許多小片上，是積分的日常主力——簡單、穩健、容易推理。誠實的警告是：請「停」在低階。高次牛頓-柯特斯法則是個陷阱，因為強迫高次多項式穿過許多等距節點會引發龍格現象——權重擺盪成很大的正負值，放大捨入誤差，而隨著加點，法則可能發散。解法正是實務所為：把階數保持在低位，改以細分（複合法則）來提升精度；或放棄等距，改用高斯或 Clenshaw-Curtis 節點。
在 [0, 1] 上對 f(x) = e^x（真積分 e - 1 = 1.71828）：梯形（節點 0、1）得 (1/2)(1 + e) = 1.85914，誤差 0.14；辛普森（節點 0、0.5、1）得 (1/6)(1 + 4 e^0.5 + e) = 1.71886，誤差 6e-4。再多兩個節點（布爾法則）把誤差壓到約 1e-7。
讓多項式穿過等距樣本，再把它精確積分。
別靠在單一區間上提高牛頓-柯特斯的次數來追精度。約莫超過 8 次之後權重轉負，法則變得不穩定（龍格現象）。真正的求解器使用低階法則在細片上複合，或採用非等距的高斯／Clenshaw-Curtis 節點。