複合求積法則（composite quadrature rule）

單一直線或拋物線只能跟著扭動的曲線走一小段，再遠就偏離了。與其硬要用一個橫跨整個區間的超高次多項式來對抗（這會嚴重反效果），不如做明智的事：把區間切成許多短片，在每個函數幾乎不彎的小片上套用一個簡單、可靠的法則，再把各片相加。這種分而相加的策略就是複合求積法則。

具體來說，把 [a, b] 切成 n 個寬 h = (b - a)/n 的子區間，在每個上套用一個基本法則——梯形、辛普森、中點——再把結果相加。局部誤差跨片累加，而關鍵的帳是這樣算的：一個在單片上誤差為 O(h^{p+1}) 的基本法則，在 n = (b - a)/h 片上累加成 O(h^p) 的「全域」誤差，低了一階。所以複合梯形法則的全域誤差是 O(h^2)，複合辛普森法則是 O(h^4)。把 h 減半就讓誤差縮小 2^p 倍，你只要不斷加片，直到估計在你的容差內不再變動。

複合法則才是實務上真正在做積分的方式——基本牛頓-柯特斯公式幾乎從不單獨用在寬區間上，正因為提高其次數會引發不穩定，而細分卻是穩定且收斂的。它們也是巧妙決定「在哪裡細化」的天然舞台：固定的均勻網格在平坦區浪費力氣，所以自適應求積用誤差估計只細分需要的那些片。而 h 連續減半的複合梯形法則，正是龍貝格積分外推成高階所用的輸入。