蒙地卡羅積分（Monte Carlo integration）
/ MON-tee KAR-loh /
不測量每一平方公尺，你要怎麼算出一座湖的平均深度？在許多隨機地點放下測深桿，把讀到的深度平均起來，再乘以湖的表面積——你就得到體積，而且取樣的隨機地點愈多，估計愈好。蒙地卡羅積分正是把這個點子變成計算積分的方法：用隨機點上被積函數的平均值來估計積分。
核心公式只有一行。要近似 I =（在區域 D 上對 f(x) dx 積分），在 D 內均勻隨機抽 N 個點 x_1, ..., x_N，取 f 的平均，再乘以區域的體積 V：I 約等於 (V / N) * sum f(x_i)。為何有效？積分等於 V 乘以 f 在 D 上的「平均」值，而隨機點上 f 的樣本平均正好估計這個平均——大數法則保證它隨 N 增大收斂到真值。（更一般地，若你從某個密度 p 取點而非均勻取點，則平均 f(x_i)/p(x_i)；這份自由正是重要性取樣所利用的。）
招牌性質——也是此法不可或缺的原因——在於它的誤差表現。統計誤差以 O(1 / sqrt(N)) 縮減，而關鍵是這個速率與積分的「維度無關」。d 維的傳統格點求積要達到相同精度，大約需要 k^d 個點，這會爆炸（維度災難），超過寥寥幾維就無望；蒙地卡羅則不管積分是對 3 個變數還是 300 個變數，都以 1/sqrt(N) 穩穩前進。誠實的代價是 1/sqrt(N)「慢」：要把誤差砍半你得多取四倍樣本，要多得一個十進位有效位你得多取一百倍。所以蒙地卡羅在低維輸給格點，卻在高維決定性地獲勝——這正是它驅動高維金融、物理、繪圖與貝氏統計的原因。
用面積估計 pi：在正方形 [0,1]^2 內撒 N 個隨機點，數落在四分之一圓 x^2 + y^2 <= 1 內的比例。該比例近似四分之一圓的面積 pi/4，所以 4 * (數量 / N) 近似 pi。N = 10,000 時通常落在 pi 的約 0.02 之內；要達到 0.002 約需 1,000,000 個點——多一位數要付一百倍成本。
在隨機點上平均被積函數；誤差以 1/sqrt(N) 下降，與維度無關。
O(1/sqrt(N)) 速率慢得殘酷——多取 100 倍樣本只換來 10 倍精度——但它在任何維度都是「同一個」速率，這正是重點。低維時確定性求積完勝它；維度高時才用蒙地卡羅。