蒙地卡羅誤差（Monte Carlo error）

當你用平均隨機樣本來估計某個量時，你的答案本身就是隨機的——換一批新的隨機抽樣再跑一次，你會得到略為不同的數字。自然的問題是：我的估計大概偏離多少？蒙地卡羅誤差就是那個隨機抖動的大小，而美妙之處在於模擬能用同一批樣本「估計自己的誤差」，給你一條誠實的誤差棒，而非赤裸裸的猜測。

以下是精確的陳述，它建立在中央極限定理上。設你的估計是某個真標準差為 sigma 的量的 N 個獨立抽樣的樣本平均。這個估計自身的標準差——標準誤——是 sigma / sqrt(N)。你不知道 sigma，但可用抽樣的樣本標準差 s 來估它，所以回報的誤差棒是 s / sqrt(N)。中央極限定理說估計約略呈以真值為中心的常態分布，所以 95% 信賴區間約為估計值正負 1.96 * s / sqrt(N)：大致上，真值落在你估計值的兩個標準誤之內的機會約為二十次中十九次。這正是為何蒙地卡羅結果永遠該附上誤差棒，而不只是一個數字。

從公式可導出兩點誠實的話。其一，分母裡的 sqrt(N) 是蒙地卡羅之所以慢的根源：要把誤差砍半你得把 N 變四倍，要多一位十進位有效位你得做 100 倍的功——又是 1/sqrt(N) 定律。其二，誤差由 sigma（被積函數的變異性）掌控，而這正是變異數縮減技巧（重要性取樣、控制變數、對偶與分層取樣）所拉的槓桿：把 sigma 縮小，你就在「相同的 N」下縮小誤差，有時效果驚人。代價背後的代價：這些誤差棒假設樣本獨立且變異數有限；相關的抽樣（如 MCMC）或變異數無限的厚尾被積函數，會破壞乾淨的 s/sqrt(N) 公式，需要更謹慎處理。