厄米多项式

厄米多项式是一族数学函数，每个整数对应一个，它们塑造着谐振子的波函数。当你用微积分为抛物线势能求解薛定谔方程时，每一个被允许的态结果都是一个厄米多项式乘以一个钟形的高斯包络。多项式提供起伏；高斯则让整体在远离中心处平滑地衰减为零。

依次往后的每个厄米多项式都比前一个多一处起伏，这正是量子数为 n 的态恰有 n 个节点的缘由。最低的那个对应基态，仅仅是一个常数，给出简单的高斯凸包。下一个添上单一的过零点，再下一个添上两个，于是随着能量沿阶梯攀升，波函数也稳步变得越来越有结构。

这些多项式早在量子力学需要它们之前，就被数学家——尤其是夏尔·厄米——研究过了。它们共享一种称为正交性的优雅性质，这保证了振子的各态彼此独立并构成一组完备基。同样的函数在数学与物理中反复出现，从概率论到激光束的模式。