对易子

两个算符的对易子，衡量的是施加它们的次序究竟有多重要。它的定义是 Â 乘 B̂ 减去 B̂ 乘 Â：先按一个次序做运算，再按另一个次序做，取其差。对普通的数而言，这个差永远是零；但对算符而言，它可以是相当可观的东西，而这个非零的差，承载着真实的物理含义。

当对易子为零时，两个算符被说成是对易的，它们共享一组共同的本征态。这意味着它们所表示的两个可观测量可以同时拥有确定的值——你可以把两者都知道得很锐利。而当对易子不为零时，并不存在对所有态都成立的这种共同本征态，于是这两个量就无法同时做到完美锐利。

因此，对易子正是用来追问哪些可观测量相容、哪些不相容的精确工具。一个非零对易子的大小，甚至设定了这两个量中不可避免的最小弥散，从而把一段代数直接变成了不确定性原理。量子力学的许多结构——角动量、谐振子、不确定性关系——都被编码在少数几个关键的对易子之中。