比例的性質（properties of proportions）

一旦你知道兩個比相等，你就能用幾種合法的方式重排這個比例，而它仍然成立。這些重排很實用，因為你一開始拿到的形式往往不是某個題目所需要的形式。它們全都源自同一個事實 a/b = c/d，但每一個都有值得認識的古典名稱。

從 a/b = c/d 出發（各項都不為零）。更比（交換內項）：a/c = b/d。反比（兩邊取倒數）：b/a = d/c。合比性質（componendo，兩邊各加 1 後合併）：(a + b)/b = (c + d)/d。分比性質（dividendo）：(a - b)/b = (c - d)/d。把後兩者結合得到 (a + b)/(a - b) = (c + d)/(c - d)。每一個都只是對一個真等式做代數——例如更比就是把 a/b = c/d 交叉相乘成 a·d = b·c，再除以 c·d 所得到的。

這些性質在幾何證明中大放光彩。當一條線把三角形的兩邊按比例分割時，你常會得到像 AD/DB = AE/EC 這樣的比；合比性質把它轉成 AD/AB = AE/AC，也就是把每一段拿來跟整條邊比，而不是跟另一段比——這正是分點線段定理所需要的形式。掌握這些變換，讓你能在「部分對部分」與「部分對全體」之間滑動，而不必每次都從頭推導。