柏拉圖分配（Pareto distribution）
/ puh-RAY-toh /
少數人掌握了大部分財富；少數城市使其餘相形見絀；極少數網站囊括了絕大部分流量。這些「大者恆大」的模式正是柏拉圖分配的領域，它是經典的重尾冪律，也是著名 80/20 法則背後的數學。
記作 X ~ Pareto(x_m, alpha)，含最小值 x_m > 0 與形狀參數 alpha > 0。其尾部是冪律：當 x >= x_m 時 P(X > x) = (x_m / x)^alpha。關鍵在於這個尾部只以多項式衰減——遠比指數或常態緩慢——所以非常大的值仍有不可忽略的可能。形狀 alpha 控制尾部有多肥，並且令人警惕地，決定了哪些摘要量是否存在：平均唯有 alpha > 1 時才有限（等於 alpha x_m/(alpha - 1)），變異數唯有 alpha > 2 時才有限。alpha 小時，平均被罕見的巨大值主宰，甚至可能根本不存在。
柏拉圖分配能描述財富與收入、城市與公司規模、檔案大小、保險損失、地震規模——凡是少數案例遠大於典型者之處。誠實而重要的提醒：重尾打破了建立在常態上的舒適直覺。樣本平均可能不穩定且具誤導性，「典型值」（中位數或眾數）遠低於平均，而單一個極端觀測就能主宰一切——所以僅憑平均來推理一個柏拉圖量，是個陷阱。
假設財富服從 x_m = 10,000、alpha = 1.5 的柏拉圖分配。則 P(財富 > 1,000,000) = (10,000 / 1,000,000)^1.5 = (0.01)^1.5 = 0.001——千分之一，遠多於常態模型所能預測，而且因為 alpha < 2，變異數根本不存在。
多項式尾部讓巨大值仍有可能；alpha 小時甚至可能讓平均完全不存在。
重尾違背常態直覺：平均唯有 alpha > 1 時存在、變異數唯有 alpha > 2 時存在，所以柏拉圖資料的樣本平均可能不穩定或無意義。