預測－校正法

隱式方法準確又穩定，卻很彆扭：它的公式裡未知的下一個值出現在「兩邊」，所以你不能直接算出它——你得為它解一個方程。預測－校正法用兩個動作繞過這點。先用一個便宜的顯式方法對下一個值做粗略猜測（預測）。再把那個猜測代入一個更好的隱式公式的右側，吐出一個精煉過的值（校正）。先猜、再改進——就像先用鉛筆打稿，再用墨水描過草稿。

精確地說：「預測子」是一個顯式公式（例如 Adams-Bashforth，或一步普通尤拉），只用已知的值產生初始估計 y*_(n+1)。「校正子」是一個隱式公式（例如 Adams-Moulton，或梯形法則），它本來需要右側出現 y_(n+1)——但現在你把預測子的 y* 餵進那裡，把隱式公式變成直接計算。常見的做法是在預測處算一次 f、校正後再算一次 f；這個算值－校正循環就是 PECE 模式。校正子甚至可以套用不只一次，每一遍都精煉那個值。

這正是強大的隱式 Adams 方法日常被使用、卻從不解非線性方程的方式。這種配對還白送一個獎勵：預測值與校正值之間的落差，是局部誤差一個便宜、內建的估計，而這恰恰是自適應步長控制器決定該放大還是縮小步長所需要的。改良尤拉法是所有預測－校正法中最簡單的——尤拉法預測、梯形法則校正。這個概念一路擴展到生產級求解器中所用的多步 Adams-Bashforth-Moulton 配對。