亞當斯－莫爾頓法

亞當斯－巴什福斯讓一個多項式穿過「過去」的斜率並向前延伸——但把多項式延伸到它的資料之外（外推）總是不穩。亞當斯－莫爾頓做了一個改變一切的改進：它讓多項式也穿過「新點」處的斜率，不只是過去的。現在你是在插值，在資料之內擬合曲線而非往外猜，這準確且穩定得多。代價是新斜率依賴你正想找的新值——所以方法是隱式的。

精確地說，公式 y_(n+1) = y_n + h * (過去斜率的加權和「以及」f(t_(n+1), y_(n+1))) 包含了新點處尚未知的斜率。最簡單的情形是梯形法則 y_(n+1) = y_n + (h/2)(f_n + f_(n+1))；更高的成員是三步亞當斯－莫爾頓，四階。因為 y_(n+1) 透過那個 f(t_(n+1), y_(n+1)) 項坐在右側裡面，你無法直接讀出答案——你必須每步為它解一個代數方程（若 f 非線性就用牛頓法，或用預測－校正迭代）。

用這份額外麻煩換來的東西很實在。在相同步數下，亞當斯－莫爾頓比可比階的亞當斯－巴什福斯更準確，而關鍵在於它有大得多的絕對穩定區域——隱式方法在顯式方法會炸掉的地方仍保持穩定，這正是剛性問題所要求的。實務上，亞當斯－巴什福斯（預測子）與亞當斯－莫爾頓（校正子）被一起跑成預測－校正對：顯式方法猜測、隱式公式精煉，你就在不需從頭解完整非線性方程下，得到隱式品質的準確度。