多孔介質方程（porous-medium equation）
把水倒進乾沙裡，或讓氣體滲過多孔岩石：流體會擴散，但與熱不同，它「並不」瞬間到達每一點。有一道銳利的濕潤前緣以有限速度推進，而緊鄰其外便是乾透的地面。尋常的擴散（熱方程）做不到這點——它瞬間就擴散到處處。多孔介質方程正是捕捉這種「有限速度、前緣領頭」擴散的非線性修補：一種擴散速率取決於密度本身的擴散。
方程是 u_t = Laplacian(u^m)，其中 m > 1（常取 m = 2），u >= 0 是流體或氣體的密度。把它改寫成 u_t = div( m u^(m-1) grad u )：有效擴散率是 m u^(m-1)，它在 u = 0 之處「消失」。這正是關鍵的轉折——擴散在空白區域關閉，故在前緣實際到達之前，物質無法滲入無物之處。這種「退化」（擴散係數降到零）正是產生一個以有限速度移動的真實自由邊界的原因，與線性熱方程那無限的傳播速度與瞬間平滑化形成鮮明對照。它甚至有一個顯式的自相似解，即 Barenblatt 剖面，形狀像一個倒拋物線取某冪次，支撐在一個半徑依 t 的固定冪次成長的擴張球上——這就是那滴標準的擴散水珠。p-Laplacian 是它的近親，其非線性在 grad u 之中而非在 u 本身。
為什麼重要？它是氣體穿過多孔岩石（其最初的推導）、地下水流動，以及帶擁擠效應的族群擴散的模型——凡是「稀疏時擴散應緩慢、且物質應以確定邊緣推進」之處皆然。在教學上，它是「非線性擴散在性質上不同於線性擴散」最乾淨的例子：有限傳播速度、一個自由邊界，以及只有有限的平滑化（解在前緣處可有尖角）。它是拋物型方程，但其退化性賦予了它一些你本以為屬於雙曲型方程的「有限速度」個性。
把一團有限的氣體（設 m = 2）丟到空白空間上。Barenblatt 解把它鋪成一個擴張的、拋物面形的水窪：其支撐是一個球，半徑依 t^(1/(d(m-1)+2)) 成長，而在該半徑之外 u 恰為零。有一道乾淨的濕／乾邊界以有限速度移動——一點也不像熱方程，那裡任何一團東西都瞬間（即使微弱）在處處被感受到。
依密度而變的擴散：一道以有限速度推進的濕潤前緣。
它與熱方程的定義性對照，是有限對無限的傳播速度。由於擴散率 m u^(m-1) 在 u = 0 之處消失，多孔介質方程有一個真實的自由邊界，且「不」瞬間平滑化——這恰與線性熱方程相反。