由 SVD 得到极分解

一个复数可分解为模乘以相位，z = r e^{i theta}——即一个拉伸乘以一个旋转。极分解正是这个思想的矩阵版：任何方阵都可分解为 A = Q P，其中 Q 正交（纯旋转/反射），P 对称半正定（沿正交轴的纯拉伸）。旋转乘以拉伸，恰如一个复数。

SVD 立刻把两个因子都交给你。从 A = U Sigma V^T 出发，在中间插入 V^T V = I：A = (U V^T)(V Sigma V^T)。第一块 Q = U V^T 是正交矩阵之积，故正交；第二块 P = V Sigma V^T 对称且特征值非负（即奇异值），故半正定。于是 A = QP 直接从 SVD 的因子中掉了出来。

它有两种风味。右极形式 A = QP 先施加拉伸（在输入坐标中）再旋转；左极形式 A = P' Q，其中 P' = U Sigma U^T，先旋转再在输出坐标中拉伸。两者中出现的是同一个 Q。当 A 可逆时，P 正定且 Q 唯一确定；那个 Q 还是离 A 最近的正交矩阵，这使极分解成为把一个轻微受损的旋转重新正交化的标准工具。

这种解读才是要点：每个线性映射，无论多么杂乱，骨子里都是沿某组正交轴的拉伸、随后一个刚性旋转。极分解把形变（P）与刚体运动（Q）分离开来，这正是它出现在连续介质力学、计算机图形学，以及任何需要把形状变化与朝向分开的地方的原因。