龍格-庫塔法（Runge-Kutta method）
/ ROONG-uh KOOT-tah /
尤拉法只信任每一步起點量到的斜率，然後盲目地走到終點，這正是它會漂移的原因。龍格-庫塔法做得更聰明、也更貼近人的直覺：在真正踏出一步之前，它會在區間內數個點探測斜率，包括往前看到一半的地方，然後以巧妙加權後的平均值前進。這就像過彎時，不是只瞥一眼路，而是沿途多看幾次。
經典的四階版本 RK4 在一步 h 內積分 dx/dt = f(t, x)，會計算四個斜率：k1 = f(t, x)；k2 = f(t + h/2, x + h k1 / 2)；k3 = f(t + h/2, x + h k2 / 2)；k4 = f(t + h, x + h k3)。接著更新 x(t + h) = x(t) + (h/6)(k1 + 2 k2 + 2 k3 + k4)。這組特定的權重把泰勒級數誤差消去到四階，使局部誤差為 h^5 階、全域誤差為 h^4 階。每步四次函數計算換來巨大的精度提升：要達到相同的準確度，RK4 所需的步長遠比尤拉法大。
RK4 是求解常微分方程的通用主力，而其自適應步長變體（龍格-庫塔-費爾伯格法、Dormand-Prince 法，也就是 RK45 這類例程的核心）會即時估計局部誤差，自動縮小或放大 h。誠實的警告是：RK4 不是辛的，所以對哈密頓系統做極長時間積分時，其能量仍會緩慢漂移，此時反而是像韋爾萊法這種較低階的辛方法更佔優勢。階數也並非愈高愈好，因為捨入誤差與額外計算的成本終究會佔上風。
積分一條克卜勒軌道時，RK4 用不大的時間步就能在許多圈公轉中忠實地沿橢圓前進，而相同步長的顯式尤拉法會明顯向外盤旋；RK4 每一步的局部誤差按 h^5 縮小，所以把 h 減半，每步誤差約降為三十二分之一。
每步四次斜率探測，把尤拉法的一階爬行變成四階精度。
RK4 中的「四階」指的是全域誤差按 h^4 縮放，而非階段數；又因為 RK4 不是辛的，儘管它局部精度更高，在長時間能量守恆上一個較低階的辛積分器仍可能勝過它。