黎曼曲率張量（Riemann curvature tensor）
/ REE-mahn /
終於，這個物件不依賴任何座標地回答了那個問題：「這個空間到底是真的彎曲，還是只因為我選的座標而看起來歪？」黎曼曲率張量就是曲率誠實的度量。它捕捉一個向量被沿著無窮小迴路平行移動一圈後所受的旋轉，而它不為零，若且唯若幾何是真正、不可化約地彎曲的，這是任何巧妙的座標變換都消不掉的。
它由克里斯多福符號及其導數組裝而成，R^a_bcd = partial_c Gamma^a_db - partial_d Gamma^a_cb + Gamma^a_ce Gamma^e_db - Gamma^a_de Gamma^e_cb，而它最乾淨的定義是協變導數的對易子：(nabla_c nabla_d - nabla_d nabla_c) V^a = R^a_bcd V^b。它眾多的對稱性把四維時空中的獨立分量數目砍到二十個，而它的導數服從比安基恆等式，這最後將保證能量與動量的守恆。
黎曼張量正是曲率化為物理之處。一個時空是平坦的，恰恰當 R^a_bcd 的每個分量都為零；而在它不為零之處，它驅動潮汐力，也就是測地線偏離所顯現的那種拉伸與擠壓。最關鍵的提醒，是先前在克里斯多福符號那裡就遇過的：聯絡係數不為零並不蘊含曲率，但黎曼張量不為零就一定蘊含曲率，無可迴避。它是那個張量性的裁決，把一個真正扭曲的時空，和穿著彆扭座標的平坦空間區分開來。
在半徑為 a 的球面上，黎曼張量的每個獨立分量都由單一的尺度 a 決定；表面均勻彎曲，任何座標分塊無論多巧妙都無法把它攤平。相較之下，圓柱面的黎曼張量為零：它在本徵意義上是平坦的，可以不經拉伸就攤展成一個平面。
球面：彎曲（黎曼不為零）。圓柱面：本徵平坦（黎曼為零）。
本徵曲率，也就是黎曼張量所度量的，並不等同於你從外面看到的外在彎折。圓柱面在我們三維的眼中是彎的，但一隻被限制在它表面上的螞蟻，會發現它的幾何完全是歐氏的。進入廣義相對論的只有本徵曲率。