平行移動

拿一支箭頭沿著一條路徑滑動，每一步都讓它盡可能保持「和前一刻一樣平行」的指向，絕不刻意去扭轉它。在平坦的桌面上這很平凡：箭頭回到起點時毫無改變。但在彎曲的表面上，卻會發生令人吃驚的事。把一支箭從赤道帶到北極，再橫越到另一條經度，然後沿經線回到赤道，它回家時竟然轉了向，儘管你從未轉動過它。那個轉向，就是你親手、直接與曲率打的一次照面。

精確地說，一個向量 V 沿著切向量為 u 的曲線被平行移動，當它沿曲線的協變導數為零：u^a nabla_a V^b = 0，等價於 dV^b/dlambda + Gamma^b_ac (dx^a/dlambda) V^c = 0。這是把「保持向量不變」自然推廣到一個空間，在那裡樸素意義下的「不變」並非與座標無關。在彎曲空間中，移動的結果取決於所走的路徑；把同一個向量沿兩條不同路線在兩點間搬運，你一般會得到兩個不同的答案。

平行移動賦予曲率一個可操作的意義：一個向量被沿著一條封閉迴路搬一圈後所受的淨旋轉，正比於所圍的曲率與迴路的面積，這個關係稱為和樂（holonomy）。它也給了測地線一個乾淨的定義：測地線就是那條會平行移動自己切向量的曲線，一條依它自己的判準永遠「筆直向前」的路徑。提醒：只有在平坦空間中移動才與路徑無關，因此繞一圈後的旋轉並不是誤差，它正是你要找的訊號。