協變導數
試著在彎曲空間中對一個向量場微分，你會撞上一個難處：要把此處的向量和一步之外的向量相比，你得把它們相減，但它們住在方向各異的不同切空間裡。普通的偏導數把向量真正的變化和座標格線單純的轉動混在一起，結果不是一個正當的幾何物件。協變導數修好了這件事，給出一個所有觀察者不論座標為何都會同意的導數。
它加上一項由克里斯多福符號建構的修正，抵消掉那個假的座標轉動：對逆變向量，nabla_a V^b = partial_a V^b + Gamma^b_ac V^c；對協變向量，修正項變號，nabla_a W_b = partial_a W_b - Gamma^c_ab W_c。結果是一個貨真價實的張量，階數比原來高一階。廣義相對論中一個決定性的性質是度規相容性，nabla_a g_bc = 0，意思是量度長度的運算和微分可交換次序，而這正是把聯絡固定為唯一那個列維-奇維塔聯絡的條件。
協變導數是讓你把物理定律寫成適用於任何時空的工具：凡是平坦空間定律中出現尋常導數之處，你就把它升級成協變導數（即「最小耦合」法則），定律就變成普遍協變的。關於它最具後果的一個事實是：協變導數不對易。nabla_a nabla_b 不等於 nabla_b nabla_a，這並非疏漏；那個對易子恰恰就是黎曼曲率張量，因此不對易的導數本身就是曲率。
對一個在極座標中分量保持不變的向量，普通偏導數會報告「沒有變化」，但協變導數卻可能不為零：當你移動時，徑向與角向的基底方向本身在旋轉，於是相對於固定標架，向量其實正在轉向。
協變導數看見了偏導數所遺漏的真實變化。
把偏導數升級為協變導數，只有對一階導數才是無歧義的；因為協變導數不對易，二階導數項的排列次序會給出不等價的結果，其差就是一個曲率項。最小耦合是一條經驗法則，而非定理。