慣量張量（inertia tensor）

慣量張量（inertia tensor）是質量在轉動中的對應物，但有個轉折：它是一個 3x3 的矩陣而非單一數字，因為一個物體有多難被轉起來，取決於所選的軸。一根長桿繞其長度方向很容易旋轉，但要讓它翻筋斗式地轉卻很難；同一個物體，不同方向卻有不同的抵抗。慣量張量把這一切方向性的資訊打包成單一個物件。

對一個密度為 rho(r) 的物體，其相對於選定原點的分量為 I_ij = 對 rho (r^2 delta_ij - x_i x_j) 作體積分；對質點系則 I_ij = 對 alpha 求和 m_alpha (r_alpha^2 delta_ij - x_i,alpha x_j,alpha)。對角元 I_xx、I_yy、I_zz 就是我們熟悉的、繞各軸的轉動慣量；非對角元則是慣量積（products of inertia）。它存在的全部理由就是關係式 L = I omega——角動量等於慣量張量作用在角速度上。因為 I 是矩陣，所以 L 一般而言並不平行於 omega。轉動動能為 T = (1/2) omega . I . omega = (1/2) I_ij omega_i omega_j。

慣量張量是實對稱的（I_ij = I_ji）且為正定，這保證它可以被對角化——這正是主軸（principal axes）的來源。它取決於原點的選擇：平移原點後，它會依平行軸定理改變，I_ij(新) = I_ij(質心) + M(d^2 delta_ij - d_i d_j)。每當一個物體的角動量與角速度指向不同方向時，你就會遇到它：擺動的轉軸、翻滾的小行星、不平衡的車輪。