伽瑪函數（gamma function）

階乘 n! 把整數相乘，卻只對整數有意義。伽瑪函數是它平滑的延拓：一條連續曲線，恰好穿過所有階乘，卻對分數、負數、甚至複數都有定義。它回答「(1/2)! 是多少？」——而答案，出人意料地，牽涉到 sqrt(pi)。

對 Re(z) 大於 0，伽瑪函數是 Gamma(z) = t^(z-1) e^(-t) 從 0 到 infinity 的積分。它決定性的性質是遞迴關係 Gamma(z + 1) = z Gamma(z)，加上 Gamma(1) = 1，就迫使 Gamma(n + 1) = n! 對非負整數 n 成立。該積分只在 Re(z) 大於 0 時收斂，但遞迴關係把 Gamma 解析延拓到整個複平面，在那裡它全純，只在 z = 0、-1、-2、... 有一階極點（在 z = -n 的留數為 (-1)^n / n!）。一個關鍵特殊值是 Gamma(1/2) = sqrt(pi)。

它是特殊函數與統計的結締組織：它固定了高斯以及 beta、gamma、卡方與 t 分布的歸一化，出現在 n 維球的體積中（因而出現在統計力學的相空間計數裡），並定義了馴服量子場論中發散積分的解析延拓技巧（維數正規化）。斯特林近似 Gamma(z + 1) 約等於 sqrt(2 pi z) (z/e)^z，正是波茲曼熵計數背後那個日常的大 n 階乘估計。