四維速度／四速度（four-velocity）

一般的速度 dx/dt，對相對論而言有個隱藏的缺陷：它除以 t，一個與參考系有關的時間。要得到一個正牌的四維向量，你必須改為對一個大家都同意的量——粒子自身的固有時——來微分物體的位置。四維速度就是以此方式量得的世界線切向量：一個物體以哪個方向、以多快穿越時空本身。

四維速度為 U^mu = dx^mu/dtau，其中 tau 是沿世界線的固有時。令 gamma = 1/sqrt(1 - v^2/c^2)、並利用 dt/dtau = gamma，其分量為 U^mu = gamma(c, v_x, v_y, v_z) = (gamma c, gamma v)。由於它是 dx^mu（一個四維向量）除以 dtau（一個不變純量），U^mu 正確地作為四維向量變換。它的大小是固定的：U·U = eta_munu U^mu U^nu = gamma^2(c^2 - v^2) = c^2 恆成立（標記 +,-,-,-）。每個物體的四維速度都有相同的「長度」c——物體之間的差別只在它在時空中的方向。

U·U = c^2 這個常數性極為有用：對它微分可證明四維加速度永遠（在閔可夫斯基意義下）正交於四維速度，U·A = 0。將 U^mu 乘以靜止質量便得到四維動量 p^mu = m U^mu。要注意：U^mu 的低速極限是 (c, v)，而非 (0, v)——時間分量並不消失，這正是靜止能量 E = m c^2 的種子。光沒有四維速度：光子沒有靜止參考系，且沿類光世界線 dtau = 0，所以人們改用仿射參數來參數化零路徑。