柯西-黎曼方程（Cauchy-Riemann equations）
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一個複變數 z = x + i y 的函數，可拆成實部 u 與虛部 v：f = u + i v。要求 f 有明確定義的導數——要求極限 (f(z + dz) - f(z))/dz 不論 dz 指向平面的哪個方向都相同——是一個出奇嚴苛的條件。柯西-黎曼方程正是把這個要求濃縮成兩條連結 u 與 v 的偏微分方程。
寫成 f(z) = u(x,y) + i v(x,y)，則 f 在某點可複微分（全純）的充要條件是，在該點 partial u / partial x = partial v / partial y 且 partial u / partial y = - partial v / partial x。幾何上這說：映射 f 只旋轉與縮放，不剪切——它在局部是保角（保持夾角）的共形映射。一個快速推論：再微分一次，u 與 v 各自滿足拉普拉斯方程 laplacian u = 0 與 laplacian v = 0，因此兩者都是調和函數，稱為共軛調和函數。
這把複分析與物理連了起來：任何二維位勢問題（靜電、理想流體流動、穩態熱傳）都可用一個全純的「複位勢」求解，其實部是位勢、虛部是場線或流線，兩者自動正交。全純遠比實可微強：一個只要複可微一次的函數就自動無窮次可微且解析——這正是通往柯西積分公式與留數定理的門。
f(z) = z^2 = (x^2 - y^2) + i(2xy)，其 u = x^2 - y^2、v = 2xy。於是 u_x = 2x = v_y 且 u_y = -2y = -v_x——兩條柯西-黎曼方程都成立，所以 z^2 處處全純。
z^2 在每一點都通過柯西-黎曼檢驗。
複共軛 f(z) = z-bar（即 u = x、v = -y）在每一點都不滿足這兩條方程：它作為實映射連續又光滑，卻處處不可複微分。實光滑並不蘊含全純。