柯西積分公式（Cauchy's integral formula）

這是複分析核心那個近乎神奇的事實：對一個全純函數，它在任何內部點的值，完全由它在環繞該點的一條迴路上的值所決定。知道 f 在邊界上的值，就知道內部所有地方的 f——內部不帶任何獨立資訊。柯西積分公式正是這種「邊界知曉一切」剛性的精確陳述。

若 f 在一條簡單閉曲線 C 上及其內部全純，則對內部任一點 a，f(a) = (1/(2 pi i)) 乘上 f(z)/(z - a) dz 沿 C 的迴路積分。對積分號下微分，就從同一組邊界資料得到每一階導數：f^(n)(a) = (n!/(2 pi i)) 乘上 f(z)/(z - a)^(n+1) 的迴路積分。這其實就是把留數定理用在被積函數 f(z)/(z - a) 上，其在 z = a 的極點留數為 f(a)。

它是複分析各種剛性定理的源頭：因為所有導數都存在，全純函數自動解析（等於自己的泰勒級數），而劉維爾定理（有界的整函數必為常數）與最大模原理立刻隨之而來。在物理中，同樣的「邊界決定內部」邏輯正是色散關係得以成立的原因：因果律迫使響應函數在某個半平面全純，其實部與虛部（折射與吸收）便被克拉莫-克若尼關係鎖在一起。