佩羅納-馬利克擴散（Perona-Malik diffusion）
/ puh-ROH-nah MAH-lik /
你想把一張有顆粒雜訊的照片清理乾淨，於是把雜訊模糊掉——但一般的模糊也會把邊緣抹掉，把清晰的肖像糊成一團。能不能只把平坦區域抹平，卻讓邊緣保持銳利？佩羅納-馬利克擴散正是做到這件事的巧妙偏微分方程，也是「把影像處理視為求解擴散方程」這一思路的奠基。
起點的觀察是：線性模糊不過就是在跑熱方程：u_t = c Laplacian u 把影像 u 平滑，但若擴散係數 c 為常數，它會把一切（包括邊緣）平等地抹平。佩羅納與馬利克的想法（1990）是讓擴散係數取決於局部影像梯度：u_t = div( g(|grad u|) grad u )，其中 g 在影像平坦處（梯度小——自由擴散）接近 1，在邊緣處（梯度大——停止擴散）接近 0。結果是一個非線性、非均向的擴散：它在區域內部平滑，卻拒絕跨越邊緣平滑，於是雜訊消失而邊界保留。它的近親「全變差去雜訊」，則藉由極小化另一個泛函達成類似的保邊效果。
這開啟了一整個領域——以偏微分方程為基礎的影像處理與電腦視覺——其中去雜訊、修補（填補破洞）與分割，全都被表述為演化的偏微分方程。誠實而具教育性的陷阱是真實存在的：佩羅納-馬利克方程在局部可能是倒向拋物型（它可以反向跑擴散以銳化邊緣），而倒向擴散是不適定的。在它純粹的連續形式下，這個問題在數學上是不適定的；使它在實務中可行的，是離散化與微小平滑修飾的正則化效應——這是「一個數值上有用的方法立足於精緻理論基礎之上」的生動案例。
常見的選擇是 g(s) = 1 / (1 + (s/K)^2)，帶一個閾值 K。在梯度 |grad u| 遠低於 K 處（平坦區），g 接近 1，影像如普通熱方程般擴散；在梯度超過 K 處（邊緣），g 趨近 0，擴散被關閉，於是邊緣保持銳利，而周圍的雜訊被抹去。
在邊緣處停止的擴散：非線性、非均向、保邊的平滑化。
純粹的佩羅納-馬利克在數學上不適定（在邊緣處它可能充當倒向擴散）；它之所以可行，僅因離散化與少許正則化馴服了它。應把它視為有效的配方，而非理論上乾淨的偏微分方程。