皮亞諾存在定理（Peano's existence theorem）
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皮亞諾定理是最溫和的存在性結果：它說，只要右端 f(x, y) 在起點附近僅僅是連續的，初值問題 y' = f(x, y)、y(x0) = y0 就在 x0 附近某一小段區間上至少有一個解。不需要光滑，不需要利普希茨條件，不需要任何花俏的東西——單純的連續就足以保證解存在。它正是對「裸存在性問題」最自然的回答。
其背後的想法非常具有物理感。你用一條折線路徑去逼近真正的解，這條路徑以極小的步長一步步前進，每一步都朝著 f 告訴你的方向走——這就是尤拉折線（Euler-line）構造。當你把步長取得越來越小，就得到一整族這樣的折線逼近。因為 f 在 (x0, y0) 附近的小盒子上連續且有界，這些折線不會走得太陡而失控，從而構成一個等度連續、一致有界的函數族；接著一個緊緻性結果（阿爾澤拉－阿斯科利定理）保證某個子序列收斂到一條真正的曲線，而 f 的連續性使這個極限成為一個實際的解。於是存在性是從一堆彼此擠在一起的近似解中被擠出來的，直到其中某個極限不得不滿足方程。
關鍵且常被忽略的一點，是皮亞諾與更強的皮卡－林德洛夫定理之間的落差：皮亞諾給出存在性，卻對唯一性隻字不提。光有連續性，確實不足以釘死單一個解。課本上的見證者是原點處的 y' = y^(2/3)，那裡 f 連續所以皮亞諾適用、解存在，然而卻有無窮多個解通過 (0, 0)。要換取唯一性，你必須額外付出代價——一個利普希茨條件——這正是皮卡－林德洛夫所要求的。
取 y' = y^(2/3)、y(0) = 0。這裡 f(x, y) = y^(2/3) 處處連續，所以皮亞諾定理適用、解存在——事實上 y = 0 就是一個。皮亞諾很滿意。但它無法告訴你這是唯一的解，而它確實不是。
連續性換來存在性（皮亞諾），卻換不來唯一性——同一個例子把唯一性徹底打破。
一個常見的錯誤是以為皮亞諾也給唯一性。它不會：光有連續性就容許無窮多個解，y' = y^(2/3) 即為明證。