存在性問題（the existence question）
在試圖求解一個微分方程之前，有一個更安靜、更根本的問題值得先問：到底有沒有解？你拿到一條描述變化率的規則，例如 y' = f(x, y)，再加上一個起始值 y(x0) = y0，你想知道是否真的存在一個老實的函數穿過那個起點並遵守這條規則。我們很容易忘記這件事可能失敗或含糊不清，因為課本上的簡單方程幾乎總是乖乖的；但寫下一個方程本身，並不會憑空變出一個能滿足它的函數。
具體來說，一個初值問題要找的是一個函數 y(x)，至少定義在 x0 附近的一小段區間上，通過點 (x0, y0)，並且在每一點的斜率都等於那裡的 f(x, y)。存在性問題只問：x0 附近至少有一個這樣的函數嗎？它不問是否唯一，也不問能延伸多遠。誠實的答案取決於 f 有多乖：f 僅僅連續就已經能換來一個局部解（皮亞諾定理），更強的光滑性則換來更多。斜率場（slope field）是個好的心象：存在性就是說，你總能從起點沿著那些小箭頭走下去，而場不會撕裂或消失。
這件事之所以重要，是因為它在三件常被人含混混為一談的事之間劃下一條清楚的界線：存在性（有沒有解？）、唯一性（是不是只有一個？）、整體行為（能維持多遠？）。三者各自可成立或失敗。有些問題有解卻不唯一；有些問題的唯一解只活在一小段區間上，然後就爆掉。把這幾個問題分開，正是這一部分學問的核心，也是為什麼存在性定理要敘述得如此小心。
對於 y' = y 且 y(0) = 1，函數 y = e^x 存在、穿過 (0, 1)，且處處斜率等於自身的值——存在性顯然成立。對於 y' = y^(2/3) 且 y(0) = 0，解也存在（事實上 y = 0 就行），所以這裡存在性同樣沒問題；之後失效的是唯一性。
存在性是較容易的一半：連麻煩的 y^(2/3) 例子都有解。問題在於它是不是唯一的。
光有存在性，對唯一性或解能維持多久都不置一詞——那是真正分開的問題，各自有自己的定理。