自伴形式（self-adjoint form）
對稱矩陣之所以特殊，是因為它能在內積中「翻邊」而毫不改變結果：v . (A w) = (A v) . w。自伴形式就是讓微分算子也具備同樣行為的技巧。它是算子必須穿上的精確外形，使得分部積分能在積分內部把算子乾淨地從一個因子移到另一個。
任何二階算子 a(x) u'' + b(x) u' + c(x) u，在乘上適當的積分因子之後，都可改寫為 -(p u')' + q u——即史特姆-劉維形式。這之所以重要，關鍵在一行分部積分：v 乘 (-(p u')') 從 a 到 b 的積分，等於 (-(p v')') 乘 u 的積分，再加上端點處的邊界項 p(v u' - v' u)。若邊界條件消去這些邊界項，則算子對內積 (f, g) = f g 的積分滿足 (L u, v) = (u, L v)。此時算子就是對稱的，或稱形式自伴的。
這正是整個史特姆-劉維理論背後的結構祕密。實數特徵值、正交特徵函數、雷利商、譜定理——每一個好性質都源自自伴性，正如對稱矩陣的譜定理源自 A = A 的轉置。因此把方程化為自伴形式是最先要做的一步：它揭示出線性代數的機制是否適用。
考慮 x u'' + u' + lambda x u = 0（偽裝過的貝索方程）。不必額外乘任何東西，把它整理成 -(x u')' = lambda x u——已是自伴形式，p(x) = x、q = 0、權重 w(x) = x。這個權重 x 正是為什麼貝索函數帶因子 x 才正交，也就是 x J_n(...) J_n(...) 的積分。
改寫為自伴形式，就能讀出正交時必須使用的權重 w(x)。
形式自伴（算子看起來對稱）不等同於作為函數空間上算子的真正自伴——後者還要確定精確的定義域與邊界條件。對本領域中的正則問題可忽略此差別，但在奇異或無界區域上這就變得關鍵。