簡正模態（normal modes）

敲一口鐘、一只酒杯、或一條吉他弦，它不會隨意亂動——它安定成少數幾個純粹、持久的振動圖樣，每一個有自己固定的音高。這些特殊的圖樣就是簡正模態：系統喜歡振動的自然形狀，其中每一部分都以一個共同的頻率一起上下擺動。

對於兩端固定、長度為 L 的弦，分離變數法能精確地找到它們。猜 u(x,t) = X(x)T(t)，代入 u_tt = c^2 u_xx，除以 X T：x 部分必須等於 t 部分，所以兩者都等於一個常數，給出兩個常微分方程。固定端迫使 X(x) = sin(n pi x / L)，n = 1, 2, 3, ...——這些是空間形狀，就是模態——而相匹配的 T(t) 以頻率 f_n = n c / (2 L) 振盪。所以第 n 個簡正模態是一個有 n 個隆起的正弦形狀，以基頻的 n 倍振動。數 n 數的是弦上容得下的半波長數，而保持不動的點就是節點。

簡正模態是一切振動的基本構件：因為波動方程是線性的，弦的任何運動都是簡正模態以各種強度的疊加（總和），而那個總和正是一個傅立葉正弦級數。每個模態的強度就是它的傅立葉係數。這就是為何同一個想法處處重現——史特姆-劉維問題的特徵函數、鼓的駐波（貝索函數模態）、原子的軌域。找到一個系統的簡正模態，就是找到書寫它行為的那套自然字母。