費曼-卡茨公式（Feynman-Kac formula）
/ FY-nman KOTS /
閱讀一條擴散方程還有第二種、截然不同的方式——不是把它看成剖面的平滑化，而是看成一則關於隨機行走者的故事。擴散是無數微觀粒子隨機晃動（布朗運動）的宏觀投影。費曼-卡茨公式把這點精確化：它把一個拋物型偏微分方程的解，寫成對隨機路徑的平均。要找某點的溫度，你想像一個粒子從該點出發做布朗運動，再對它沿途遇到的資料取平均。確定性的偏微分方程與隨機過程，是同一個對象的兩種語言。
具體來說，考慮 u_t = (1/2) Laplacian u - V(x) u，初始資料 u(x, 0) = g(x)，其中 V 是一個「位勢」（與位置相關的消滅率或折現率）。費曼-卡茨公式說 u(x, t) = E[ g(B_t) exp( - integral from 0 to t of V(B_s) ds ) | B_0 = x ]，其中 B_s 是從 x 出發的布朗運動，E 是對它所有隨機路徑取的期望值（平均）。逐塊解讀：B_s 是隨機行走者；g(B_t) 是在「行走者經過時間 t 後所在之處」採樣的初始值；那個「負的 V 的積分的指數」按每條路徑沿途累積了多少「位勢」來給它加權；而期望值則對整片可能路徑的雲取平均。當 V = 0 時這塌縮為 u(x, t) = E[g(B_t)]，這恰恰就是對熱核的卷積——B_t 的高斯密度「就是」熱核。
這個對偶觀點為何配得上拋物型的頂峰：它把分析學轉成機率、再轉回來。偏微分方程的事實變成路徑的事實——最大值原理不過是「平均不會超過被平均者中的最大值」；正性保持是自動的，因為你在平均非負的資料；無限傳播速度，則映照了「布朗路徑能在任意正時間內到達任何地方」這個事實。它也化為一個計算工具：對隨機路徑做蒙地卡羅模擬，能在格點失效的高維中估計偏微分方程的解，它也是選擇權定價的數學支柱，那裡布萊克-修斯方程正是被當成一個期望折現收益來求解的。
純熱方程 u_t = (1/2) Laplacian u、u(., 0) = g。費曼-卡茨（V = 0）給出 u(x, t) = E[g(B_t) | B_0 = x] = integral of (2 pi t)^{-n/2} e^{-|x-y|^2/(2t)} g(y) dy。對布朗路徑取的期望值，字面上就是 g 與熱核的卷積——機率與熱核是同一句話。
某點的解，就是從該點出發的隨機（布朗）路徑上資料的平均。
費曼-卡茨是拋物型（與橢圓型）解的表示，而非雙曲型的——波動方程沒有貨真價實的機率路徑平均，因為其底層過程是擴散，而擴散具有的（無限速度、平滑化）性質對波而言是錯的。儘管這名字向費曼的量子力學路徑積分致敬，嚴格的公式仍住在擴散這一側；真正帶振盪的薛丁格情形只是形式上的。