帕施公理（Pasch's axiom）

有個事實顯然到你用過上千次卻沒察覺：若一條直線從一邊走進三角形，它必得從另一邊走出來。它不能進去後就消失，也不能只從某個頂點離開。歐幾里得不斷倚賴這點——他常推理「這條線在這裡穿過三角形，所以一定碰到那邊的某條邊」——卻從未把它列為公設。莫里茲．帕施（Moritz Pasch）於 1882 年首先察覺這個缺口，並為這條缺失的公理命名。

精確地說，在希爾伯特的順序族中：設 A、B、C 為不共線的三點，又設線 m 在其平面內、且不通過任何頂點。那麼若 m 穿過邊 AB（介於 A 與 B 之間通過），它必也恰穿過另兩邊之一——AC 或 BC，但非兩者皆是。「介於 A 與 B 之間通過」這句話本身受介於公理管轄，這正是帕施公理屬於順序族的原因：它講的是「介於」對整個三角形如何運作，而不只是一條線上三個點。它是讓順序得以在平面上傳播的公理。

為何重要：帕施公理使三角形「內部」與「外部」的直觀概念在邏輯上站得住腳，也是證明歐幾里得視為理所當然的基本結果所必需——包括外角定理的部分內容，以及「一條線把平面分成兩側」這件事本身。沒有它，你大可想像一個古怪幾何，線溜進三角形卻永不出來。有了它，平面就如我們眼睛堅持的那樣運作，但如今是因為有明說的理由，而非靠看。