接合公理（incidence axioms）

在你能談距離、角度，或哪個點介於另兩點之間以前，你需要最基本的事實：哪些點落在哪些線上，哪些落在哪些平面上。這個赤裸的關係——點「落在」線上、線「落在」面上——稱為接合（incidence），而接合公理是希爾伯特系統中的第一族。它們不談大小或順序，只釘住什麼與什麼相連。

平面上有三條。(I-1) 過任兩個相異點恰有一條線——兩點決定唯一一條線。(I-2) 每條線至少含兩個點——線不是空的，也不是單一個點。(I-3) 至少存在三個不全共線的點——平面是真正二維的，沒有塌縮成一條線。在空間中，還有進一步的接合公理管平面（三個不共線的點恰決定一個平面，依此類推）。單憑這些、毫無度量概念，你就已能推出真正的定理：例如，兩相異線至多交於一點，因為若它們共有兩點，公理 I-1 就會迫使它們是同一條線。

接合幾何是後來把更重之物全掛上去的單薄骨架。它本身也能自成一格：微小的有限「幾何」就滿足接合公理——最小的只有三個點、三條線，像三角形的三頂點與三邊——研究它們會讓你看清接合公理本身能決定多少（與多麼少）。射影幾何與仿射幾何正是藉由變動這一層而建成的。