拋物型算子（parabolic operator）

想像熱量如何沿著金屬棒擴散，或一滴墨水如何在水中暈開。其中存在單一的時間方向，沿著它一切都不可逆地趨於均勻；而在每一瞬間，這種擴散都由一條空間平滑化定律所支配。拋物型算子正是把這類過程封裝起來的微分算子：一個被特別對待的時間導數，加上一個「擴散式」的空間部分，把一切拉向它的平均值。

具體來說，這個模型是作用在函數 u(x, t) 上的算子 P = d/dt + L，其中 L 是對空間變數 x 的二階橢圓算子——對最簡單的熱方程而言 L = -Laplacian，於是 P u = u_t - Laplacian u。方程 P u = f，也就是 u_t + L u = f，稱為拋物型偏微分方程。它的定義特徵在於：時間導數只出現到一階，而空間部分 L 是橢圓型的（在一致正定的意義下，其主符號對任何非零的空間頻率都不為零）。一個特殊方向（時間）被與所有空間方向區別對待；這種不對稱性正是這類方程的全部個性。一般的二階線性情形為 u_t = sum a_ij(x,t) u_{x_i x_j} + （低階項），其係數矩陣 a_ij 為正定。

為什麼要把這一類單獨挑出來？因為拋物型算子全都共享一族強而有用的性質：給定初始條件加邊界條件，解存在且唯一；它們服從最大值原理與比較原理；尤其重要的是，它們會平滑——粗糙的初始資料在 t > 0 時瞬間變得無窮可微。它們的傳播速度也是無限的，因此一個局部擾動會立刻在各處被感受到，無論多麼微弱。這就是初等熱方程作為第一個例子所引入的成熟框架；整個領域研究的正是這些算子的行為。