Ornstein-Uhlenbeck 過程（Ornstein-Uhlenbeck process）

布朗運動會漫遊到無窮——它沒有家，從不安定。但許多真實的隨機量是被繫住的：一個彈簧負載的質量在其靜止位置附近抖動、一粒被摩擦力減速的花粉的速度、一個漂移卻不斷被拉回長期平均的利率或商品價格。Ornstein-Uhlenbeck 過程是這種被繫住的隨機性的最簡單模型——布朗雜訊加上一個朝中心的回復拉力。它是典範的「均值回歸」過程：它抖動，但總是傾向回家。

它的 SDE 是 dX = -theta (X - mu) dt + sigma dB，有三個旋鈕：mu 是它被拉向的中心、theta 大於 0 是拉力的強度（回歸速度）、sigma 是隨機踢動的大小。讀漂移項 -theta (X - mu)：當 X 在中心 mu 之上它為負（往下拉），當 X 在 mu 之下它為正（往上拉），而離家越遠拉力越強——恰恰是一根彈簧。回復漂移與隨機踢動之間的拔河達到一個平衡，所以與布朗運動不同，OU 過程有一個平穩分布：從遠方出發它鬆弛趨向、然後永遠在一個固定的常態分布 Normal(mu, sigma^2 / (2 theta)) 之內波動。它其實是「唯一」同時為高斯、馬可夫、又平穩的過程。

每當一個量有一個自然的靜止水平時，OU 過程就是首選的雜訊模型。在物理中它是粒子在摩擦下速度的 Langevin 模型；在金融中 Vasicek 利率模型以及許多商品與配對交易模型都是 OU；在生物與工程中它模擬任何受阻尼、由雜訊驅動的系統。它也有一個乾淨的精確解（透過一個在伊藤微積分裡仍然有效的積分因子技巧），所以你可以寫出它的均值、變異數與自相關的封閉形式：自相關隨延遲指數衰減，像 exp(-theta 乘以延遲)，意味著過程以由 theta 設定的速率忘記它的過去。誠實的提醒：OU 模型假設拉力是線性的、雜訊是常數高斯——真實的均值回歸系統往往非線性地回歸、或在邊界附近雜訊增長，這些 OU 都捕捉不到。