到達時刻的順序統計量性質（order statistics property of arrival times）

這是卜瓦松過程的一個小小奇蹟。假設你只被告知在一個固定窗口 [0, T] 內恰好發生了 n 個事件——但不知何時。在那個窗口裡，你該期望它們落在哪？答案出奇地簡單：完全隨機，彷彿你把 n 支飛鏢均勻地擲向這段區間，然後由左到右排序。知道計數完全不告訴你成團與否——位置盡可能地均勻。

謹慎地說：以 N(T) = n 為條件。那麼這 n 個到達時刻，視為一個無序集合，其分布恰如 n 個獨立的 Uniform(0, T) 點；而它們排序後的版本 S1 < S2 < ... < Sn 的分布，恰如那 n 個均勻點的順序統計量。所以要模擬 [0, T] 上卜瓦松過程的到達時刻，你可以先從 Poisson(lambda*T) 抽一個 n，再在 [0, T] 上撒 n 個均勻點並排序——速率 lambda 只決定「有多少」，不決定「在哪」。直覺是：過程的無記憶、不成團本性，使得一旦總數固定，每個瞬間都與其他瞬間一樣好。

這不只是趣聞，而是一匹主力馬。它給出模擬卜瓦松過程的快捷方法、奠定了非齊次與標記過程的構造、並使許多期望值變得容易——例如給定 n 個到達時，到達時刻之和的期望就是 n*(T/2)，因為每個均勻點平均落在 T/2。唯一的提醒是：此性質對「齊次」（恆定速率）卜瓦松過程成立。對隨時間變化的速率，條件位置仍然獨立，但其分布依循正規化後的速率函數，而非均勻。