非齊次卜瓦松過程（non-homogeneous Poisson process）

真實的到達很少保持恆定步調。餐廳下午三點門可羅雀、晚上七點門庭若市；急診就診在週末激增；網站點擊隨著全球的白晝移動。非齊次卜瓦松過程保留卜瓦松過程一切好的性質，卻讓速率呼吸：速率不再是單一數字 lambda，而是一個隨時間起伏的函數 lambda(t)。

正確的記帳工具是積分後的速率，稱為平均函數：m(t) = 從 0 到 t 對 lambda(u) du 積分，即到時刻 t 為止累積的期望事件數。任一區間 (s, t] 內的計數於是是平均為 m(t) - m(s) = 從 s 到 t 對 lambda(u) du 積分的卜瓦松，而不相交區間內的計數仍然獨立。所以你把「lambda 乘以長度」換成「速率曲線下的面積」；其餘一切（獨立增量、一個一個到）都保留下來。一個乾淨的想像與模擬法：跑一個恆定速率的卜瓦松過程，然後或者依平均函數拉伸／壓縮時間軸，或者以一個至少與峰值一樣高的速率產生齊次過程，再隨機稀疏化以在每一瞬間匹配 lambda(t)。

兩個誠實的提醒。第一，你失去了無記憶的到達間隔時間——間隔不再是同分布的指數，因為跨越傍晚尖峰的間隔與黎明的間隔行為不同。順序統計量性質也推廣了：給定窗口內有 n 個事件，它們的位置彼此獨立，但按與 lambda(t) 成比例的方式分布，而非均勻。第二，非齊次過程仍假設給定速率後事件彼此獨立；若事件還會互相影響（一場火災提高下一場的機率），你需要的是自激模型，那是另一種野獸。