数值秩

精确秩统计非零奇异值的个数，但在浮点运算中几乎没有什么恰好为零。舍入和测量噪声把真正为零的奇异值抹成一个微小却为正的数，于是天真的计数总会报告满秩。数值秩通过只统计确实大的奇异值来纠正这一点。

给定容差 tol，数值秩是严格大于 tol 的奇异值个数：r = 满足 sigma_k > tol 的 k 的个数。容差选得高于噪声底——一个常见默认是 tol = max(m, n) 乘以最大奇异值再乘以机器 epsilon，从而舍弃那些可由舍入解释的值。

这正是你在实践中应当信任的秩，而奇异值扰动理论为之提供了依据。由于在扰动 E 下每个奇异值至多移动 ||E||_2，奇异值谱中一个清晰的间隙是稳定的：低于间隙的噪声无法把一个小奇异值抬过它。那个间隙的大小就是你的置信余量。

数值秩支撑着低秩逼近、揭秩分解，以及不适定问题的正则化。当奇异值平滑衰减而没有清晰间隙时，数值秩确实是含糊的，而这种含糊本身就是有用的信息：它告诉你该问题没有尖锐的内在维数。