n 階線性方程（nth-order linear equation）

你已經認識二階線性方程——彈簧上的質量、一個簡單的電路。現在想像一個更精巧的結構：一根會彎曲的梁、一串相連的振子、由好幾個堆疊元件構成的濾波器。這些更豐富的系統，由不只含 y''、還含三階、四階、甚至 n 階導數的方程所支配。n 階線性方程正是它們共同的歸宿，而令人欣慰的是：你在二階學到的一切都能乾淨地推廣。

寫出來，n 階線性方程為 a_n(x) y^(n) + a_(n-1)(x) y^(n-1) + ... + a_1(x) y' + a_0(x) y = g(x)，其中 y^(n) 表示 y 的 n 階導數。「線性」一詞的意義一如既往：y 與它的每一個導數都只以一次方出現，不會彼此相乘，不會被放進正弦或平方裡。除以首項係數後得到標準形式 y^(n) + p_(n-1)(x) y^(n-1) + ... + p_0(x) y = g(x)。當 g(x) = 0 時方程為齊次；否則為受迫。

為什麼要管一般的 n？因為整套理論只隨一個數字縮放：n 階線性方程有一個 n 維的齊次解空間，需要 n 個線性獨立的解來填滿它，配有一個 n×n 的朗斯基行列式（Wronskian），並且（在常係數情形下）透過一個 n 次的特徵多項式求解。把這個模式學一次，你就能讀出任意階的結構。誠實的提醒一如既往：閉式解大多侷限於常係數與少數特殊的變係數形式；一般的變係數方程通常需要級數或數值方法。