多連通區域（multiply connected domain）

若單連通區域是沒有洞的區域，那麼多連通區域就是有洞的——一個連通但某些迴路因洞擋路而無法縮成一點的區域。最簡單的例子是圓環，即兩個同心圓之間的扁平環：繞中央洞一圈的迴路被困住。洞的數目與排列正是「多連通」所追蹤的。

洞改變了積分的一切。在多連通區域上，柯西定理的簡單形式不再保證迴路積分為零，因為迴路可能環繞著藏有 f 奇點的洞。但有一個精確的替代成立：若 f 在該區域上解析，則繞外邊界的積分等於繞各內邊界積分之和（各自一致定向），因為其差可切成位於無洞部分的片段。這就是「形變」或「多連通柯西定理」，也是通往留數的門戶——每個洞貢獻它自己的記帳。

誠實的內容是，迴路積分的值現在取決於迴路繞了哪些洞、繞了幾圈。繞單一穿孔一圈的迴路可能給出 2 pi i 乘以一個留數；繞兩圈則加倍；繞另一個穿孔則給出不同的數。平面去掉若干點是標準的多連通遊樂場，而留數定理正是把圍道所捕捉的每個洞的貢獻加總起來的會計系統。