多項式係數與多項式定理
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二項式係數計算把 n 個東西分成「兩組」（選中與未選中）的方法數。但如果要分成超過兩組呢——比如把 9 張牌發成三手有標籤、各 3 張的牌，或計算一個有多個重複字母的字的重排數？多項式係數就是自然的推廣：它計算把 n 個相異東西分成 r 個有標籤、指定大小的群組的方法數。
若群組大小為 n1, n2, ..., nr，且它們的和是 n，則多項式係數為 n! / (n1! n2! ... nr!)。當只有兩組（r = 2）時，這恰好是 C(n, n1)，也就是普通的二項式係數，所以多項式係數真正地推廣了它。同一個數身兼三職：它計算分成有標籤群組的有序分割數、它計算具有那些重複次數的多重集的相異排法數（重排數），而且它是多項式定理裡的係數，定理說 (x1 + x2 + ... + xr)^n = 對所有滿足和為 n 的 (n1, ..., nr) 求和 [n!/(n1!...nr!)] x1^n1 x2^n2 ... xr^nr。這個係數計算了 n 個因式分配各自 xi 的方法數。
要仔細留意標籤。多項式係數計算的是「可區分」的群組（第 1 手、第 2 手、第 3 手是不同的角色）。如果群組可互換——例如把 9 個人分成三個「無標籤」、各 3 人、不附角色的隊伍——你必須再除以等大小群組互換的方法數，這裡多除一個 3!，否則會多算。二項式與多項式係數永遠是整數。
把 12 張相異的牌發成三手、大小分別為 5、4、3 的有標籤牌：那是 12!/(5!4!3!) = 27720 種方式。MISSISSIPPI（4 個 I、4 個 S、2 個 P、1 個 M）的重排數是 11!/(4!4!2!1!) = 34650——同一類的數。
n!/(n1! n2! ... nr!) 把 n 分成有標籤群組；推廣了 C(n,k)。
它計算「有標籤」的群組。若等大小的群組可互換且無不同角色，要除以那些等大小群組數目的階乘，以免多算。