二項式定理
/ by-NOH-mee-ul /
人人都學過 (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2。那 (a+b)^5 或 (a+b)^20 呢？用手乘開根本沒指望，但其實有個乾淨的規律。二項式定理就是那條公式，告訴你對任何整數 n，(a + b)^n 究竟展開成什麼——而那些係數正是你早已從計數認識的二項式係數。
敘述是：(a + b)^n = 從 k=0 到 n 的 C(n,k) a^(n-k) b^k 之和。展開來看就是 C(n,0) a^n + C(n,1) a^(n-1) b + C(n,2) a^(n-2) b^2 + ... + C(n,n) b^n。a 的指數從 n 降到 0，b 的指數從 0 升到 n，而每一項的係數是「n 取 k」。組合會出現的原因純粹是計數：(a+b)^n 是 n 個 (a+b) 相乘，要組出含 b^k 的那一項，你必須恰好從 n 個因式中的 k 個取 b、其餘取 a；而選哪 k 個因式出 b 有 C(n,k) 種方式。例如 (a+b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3，係數 1, 3, 3, 1——正是巴斯卡第 3 列。
這個定理是代數與計數之間的橋梁，也是許多恆等式的來源。令 a = b = 1 得 C(n,k) 之和 = 2^n（子集數）。令 a = 1, b = -1 得交錯和 C(n,0) - C(n,1) + C(n,2) - ... = 0（n >= 1 時）。這裡敘述的版本對非負整數 n 成立；牛頓的廣義二項級數把它推廣到分數與負數次方，但那個版本是無窮級數、需要收斂條件，所以別假設有限的公式能原封不動地搬過去。
用係數 1 4 6 4 1 展開 (x + 2)^4：x^4 + 4 x^3 (2) + 6 x^2 (2)^2 + 4 x (2)^3 + (2)^4 = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16。若只要某一項，比如 x^2 的係數，需要 C(4,2) (2)^2 = 6 乘 4 = 24。
(a+b)^n = C(n,k) a^(n-k) b^k 之和；係數就是巴斯卡三角形。
每一項都同時帶有二項式係數「以及」a、b 的正確次方。常見錯誤是寫出係數 (1,4,6,4,1) 卻忘了給 a、b 升冪，尤其當 a 或 b 不是 1 時。