動差母函數如何生成動差
動差母函數 M_X(t) = E[e^(tX)] 的名字來自它最重要的一項工作：生成動差。一個一個算 E[X]、E[X^2]、E[X^3]，每次都要重做一個積分或求和。動差母函數承諾更好的方式——把所有動差一次存進一個函數，然後只要一次微分就能釣出任何單一動差。
機制如下，而它就是微積分。把指數展成冪級數：e^(tX) = 1 + tX + (tX)^2/2! + (tX)^3/3! + ...。對每一項取期望值（因期望值是線性的而合法），得到 M_X(t) = 1 + t E[X] + t^2 E[X^2]/2! + t^3 E[X^3]/3! + ...。第 k 階動差就坐在 t^k/k! 的係數裡。要把它取出，對 M_X(t) 恰好微分 k 次再令 t = 0；除了你要的那一項，其他每一項不是消失就是被微分掉，留下 E[X^k] = M_X^(k)(0)。在零的一次導數給均值，兩次給 E[X^2]，而 Var(X) = M_X''(0) - (M_X'(0))^2。
這就是為什麼動差母函數是動差的主力：不必做各自的積分，每個只做一次微分，而且常常你連積分都不必算——只要查出或導出某已知分布的動差母函數，再微分即可。誠實的條件是動差母函數必須在 t = 0 周圍某個開區間內存在（為有限）；唯有如此它才夠平滑，使這些導數存在且展開式有效。對於 E[e^(tX)] 爆掉的重尾變數，整套機制無法使用，這時你改用特徵函數。
對 X ~ 常態(mu, sigma^2)，M_X(t) = e^(mu t + sigma^2 t^2 / 2)。則 M_X'(t) = (mu + sigma^2 t) e^(mu t + sigma^2 t^2/2)，故 M_X'(0) = mu = E[X]。在 0 的二階導數給出 M_X''(0) = sigma^2 + mu^2 = E[X^2]，因此 Var(X) = (sigma^2 + mu^2) - mu^2 = sigma^2——正是那些參數，完全沒有手算積分。
對 M_X(t) 微分 k 次再令 t = 0，即可讀出第 k 階動差 E[X^k]。
從動差母函數讀出動差，只有在動差母函數於 0 周圍某開區間內為有限時才行得通。若對每個 t != 0 都有 E[e^(tX)] 發散（重尾），就沒有可在 0 取的導數。